2017兵庫県公立高校入試解説

こちらでは3/12に行われた兵庫県内の公立高校入試の数学問題を解説してゆきます。
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<<大問1の解答解説>>

(1)  -8 +2 = \underline{-6}
(2)  \displaystyle \frac {2}{5} - \frac {3}{4} = \frac{8}{20} - \frac{15}{20} = \underline{- \frac {7}{20}}
(3)  \sqrt {54} - \sqrt{24} = 3\sqrt6 -2\sqrt6 = \underline{ \sqrt6}
(4)  x^2 + x -3 =0
二次方程式の解の公式を使って、
 x= \displaystyle \frac {-1 \pm \sqrt{1^2 -4 \times 1 \times (-3)}}{2}
 x= \underline { \displaystyle \frac {-1 \pm \sqrt{13}}{2} }
(5) (a,2) y = - \displaystyle \frac {12}{x} 上にあるので

x=a, y=2 を代入して、2=- \displaystyle \frac{12}{a}

両辺を a 倍して  2a=-12 \underline{a=-6}

(6) 多角形の外角の和は360°。右上の角の外角は180° – 96° = 84°
これより x= 360° – ( 84° + 55° + 90° + 58°) = 73°
(7) 全体の人数は40人。
平均値は、 ( 4 \times 3 + 6 \times 4 +7 \times 6 + 8 \times 10 + 9 \times 12 + 10 \times 5 ) \div 40 =7.9
中央値は20番目と21番目の度数の平均なので、どちらも8。
最頻値は最も度数の大きいところなので9。
従って小さい順に平均値(7.9)<中央値(8)<最頻値(9)となるので正解は

<<大問2の解答解説>>

x分通話したときそれぞれのプランの通話料金は、
A…5450 + 3x(円)
B…5000 + 6x(円)
C…4700 + 66(x-100)(円) (100分以上のとき)
110分のとき、BとCの式にそれぞれ代入して、
Bは5000 + 6 \times 110 = \underline{5660}(円)…①
Cは4700 + 66 \times (110-100) = \underline{5360}(円)…②AとBが等しくなるのは
5450 + 3x = 5000 + 6x
3x - 6x = 5000 - 5450
 -3x = -450
 x = 150 より150分のとき。…③BとCが等しくなるのは、
5000 + 6x = 4700 + 66(x-100)
 5000 + 6x = 4700 + 66x-6600
 5000 - 4700 +6600= 66x-6x
 66x - 6x = 5000 -4700 +6600
 60x= 6900
x=115 より、115分のとき。…④

<<大問3の解答解説>>

 

(1) y=ax上に(-1, 1)があるので、
x=-1, y=1を代入して、
1=a \times (-1)^2 → \underline{ a=-1}

(2) 点Bのx座標をbとすると、y座標はb+2となり、
点B(b, b+2)y=x^2上にあるので、
x=b, y=b+2を代入して、 b+2=b^2 → b^2-b-2=0
b=-1,2bの値は正なのでb=2、これよりB(2,4)

(3) (2)より円Aの半径は1、円Bの半径は2となるので、
直線lの式は1 \times 2 + 2 \times 2 =6よりy=6
円Cの半径をcとすると、y座標はc+6となり、
点C(-c, c+6)y=x^2上にあるので、
x=-c, y=c+6を代入して c+6 = (-c)^2 → c^2-c-6=0
c=-2,3、cの値は正なのでc=3、これよりC(-3, 9)
ここで、直線ABの傾きは\displaystyle \frac{4-1}{2-(-1)}=1
直線BCの傾きは\displaystyle \frac{4-9}{2-(-3)}=-1 なのでAB⊥BCとなり、
△ABCは∠B=90°の直角三角形とわかる。
これより3点A,B,Cを通る円は線分ACを直径とするので、
AC=\sqrt{(-1-(-3))^2+(1-9)^2}= \sqrt{2^2 +8^2} =\sqrt{68} = 2\sqrt{17}
したがって円の半径は2\sqrt{17} \div 2 = \underline{\sqrt{17}}

大問4の解答解説

(1)

上図の青い線を切れば下図のようになる。
したがって7本

(2)

図2
図3

① 図3で同じ印をつけたところどうしは重なる頂点となる。
これより[ア]はB
また◯はHとなるので、△はG、▲はF、□はE、■はAとなる。
これより図3の左下[イ]を含む面は面AEHDとわかるので、[イ]はD

図4

上図4の青線を切った図が図3になる。従って\underline{14cm}

図5

図6

長さ3cmの辺をすべて切るように展開する(図5)と、図6のようになり、この時周囲の長さは最大で\underline{32cm}

図7

図8

長さ1cmの辺をすべて切るように展開する(図7)と、図8のようになり、この時周囲の長さは最小で\underline{22cm}

大問5

(1)

点B,Cから直線ADに垂線BF,CGをひく。
△ABF(赤実線)と△ACG(緑実線)において、
∠AFB=∠AGC=90°…①
∠BAF=∠CAG…②
①、②より、2組の角がそれぞれ等しいから、△ABF∽△ACG
したがって、BF:CG(イ)=AB:AC=8:10=4:5…③
次に△BDF(赤点線)と△CDG(緑点線)において、
∠BFD=∠CGD=90°…④
(AD⊥BG、AD⊥CGよりBF//CGなので)錯角(オ)は等しいから∠BDF=∠CDG…⑤
④、⑤より、2組の角がそれぞれ等しいから、△BDF=△CDG。
従ってBD:CG=BF:CG…⑥
③、⑥より、BD:CD=4:5なので、
BD=12 \times \displaystyle\frac{4}{4+5}=12 \times \frac{4}{9}=\underline{\frac{16}{3}cm}

次にBE=xcmとすると、
△ABEで三平方の定理より、
x^2+AE^2=8^2AE^2=64-x^2…⑦
同様に△ACEで
(12-x)^2+AE^2=10^2AE^2=100-(12-x)^2…⑧

⑦、⑧より、
64-x^2=100-(12-x)^2
これを計算して
x=\displaystyle\frac{9}{2}
したがって⑦より
AE^2=64-\displaystyle \left( \frac{9}{2} \right) = \frac{175}{4}
AE=\sqrt{\displaystyle\frac{175}{4}}=\displaystyle\frac{\sqrt{175}}{2}=\underline{\displaystyle\frac{5\sqrt{7}}{2}}

(2)

(1)より、
BD=\displaystyle\frac{16}{3}cm, BE=\displaystyle\frac{9}{2}cmなので、ED=\displaystyle\frac{16}{3} - \displaystyle\frac{9}{2} = \displaystyle\frac{5}{6}
また、AE=\displaystyle\frac{5\sqrt{7}}{2}cmなので、
△AEDに三平方の定理を用いて、
AD^2=AE^2+ED^2=\left(\displaystyle\frac{5\sqrt{7}}{2}\right)^2 + \left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)^2=\displaystyle\frac{175}{4}+\displaystyle\frac{25}{36}=\displaystyle\frac{400}{9}
したがって、
AD=\displaystyle\sqrt\frac{400}{9} = \underline{\frac{20}{3}cm}

(3)

(1)の証明より、
AH:HC=AD:DC
=\displaystyle\frac{20}{3}:\left(12-\displaystyle\frac{16}{3}\right)=\displaystyle\frac{20}{3}:\displaystyle\frac{20}{3}=1:1
これよりHはACの中点とわかるので、
\triangle ADH=\displaystyle\frac{1}{2}\triangle ADC=\displaystyle\frac{1}{2} \times \displaystyle\frac{5}{4+5} \times \triangle ABC =\displaystyle\frac{5}{18} \triangle ABC
\triangle ABCは底辺BC=12cm、高さAE=\displaystyle\frac{5\sqrt{7}}{2}より、
\displaystyle\frac{1}{2} \times 12 \times \displaystyle\frac{5\sqrt{7}}{2} =15\sqrt{7}
したがって
\triangle ADH=\displaystyle\frac{5}{18} \times 15\sqrt{7} =\underline{\displaystyle\frac{25\sqrt{7}}{6}cm}

大問6

(1)

 \displaystyle \frac {b}{a}=2 となるのは、baの2倍のときなので、(a,b)=(1,2),(2,4),(3,6)3通り。
目の出方は6^2=36通りあるので、\displaystyle \frac{3}{12} = \underline{\frac{1}{12}}

(2)

y=-x+8上でxyがともに1以上6以下の整数になるのは、
(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)のときで、
それぞれの点と原点とを通る直線の傾きは順に3, \displaystyle\frac{5}{3}, 1, \displaystyle\frac{3}{5}, \displaystyle\frac{1}{3}

傾きが3のとき、(a,b)=(1,3),(2,6)、傾きが\displaystyle\frac{5}{3}のとき(a,b)=(3,5)

傾きが1のとき、(a,b)=(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)

傾きが\displaystyle\frac{3}{5}のとき(a,b)=(5,3)

傾きが\displaystyle\frac{1}{3}のとき(a,b)=(3,1),(6,2)

以上より、当てはまるのは12通りあるので、確率は\displaystyle\frac{12}{36}=\displaystyle\frac{1}{3}

(3)

y=-x+8に接する半径\sqrt{2}の円で原点から一番遠くにあるものは、
点(3,3)を中心とし、点(4,4),(2,2)を通る(作図が必要)。

直線y=\displaystyle\frac{b}{a}y=\displaystyle\frac{a}{b}は、

(a,b),(b,a)と原点を通るので、

y=\displaystyle\frac{b}{a}y=\displaystyle\frac{a}{b}が円に接することも交わることもしない点(a,b)を実際に描くと、

(a,b)=(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)\\(2,5),(2,6)\\(3,1),(4,1),(5,1),(6,1)\\(5,2),(6,2)
の12通り。

大問7

(1)

上の実線がAさん、点線がBさんのグラフとなる。
Aさんは700mの往復に20分かかっているので、
700 \times 2 \div 20 = 70
これより分速70m

(2)

Bさんは往復1400mに28分かかるので、
1400 \div 28 =50より分速50m。
[ア]はスタートから10分後の2人の間の距離で、この時AさんはQに、Bさんは50×10=500m地点にいるので、
700-500=200 →[ア]は200

また[イ]は二人の間が0mになる時で、AさんはQからPに、BさんはPからQに向かって進んでおり、
[ア]より10分のときの2人の間は200mなので、
200 \div (70+50)=\displaystyle\frac{200}{120}=\displaystyle\frac{5}{3}  ,  10+\displaystyle\frac{5}{3}=\displaystyle\frac{35}{3}
これより[イ]は\displaystyle\frac{35}{3}

(3)
2人のうちどちらかがPまたはQ地点にいるときは、10,14,20,28,30,40,42,50,56,60分のとき。
図より、最も離れているのは28,30,40,42分時点のいずれかと考えられる。
28分のとき、BはP地点、AはQに到着する2分前→700-70×2=560m
30分のとき、AはQ地点、BはPを出た2分後→700-50×2=600m
40分のときは30分の時と同じ計算になり600m
42分のときは28分の時と同じ計算になり560m
これより2人の間の距離が最も離れているとき距離は600m

(4)

2人がPまたはQ地点にいるときと、2人が出会うときその間の距離が0になることに注意して
2人の間の距離をグラフに描くと上図のようになる。
このグラフより、2人の間が350mになるのは11回